Ponad 40 tys. zakażeń dziennie w listopadzie? Wyjaśniamy, jak należy rozumieć modele matematyczne

Zdaniem twórców modeli matematycznych prognozujących przebieg epidemii Polska zbliża się do osiągnięcia maksimum zakażeń koronawirusem. To grozi sytuacją, że coraz większa liczba zachorowań sparaliżuje system służby zdrowia i pracę sanepidów. Żeby temu zapobiec, konieczna jest ogromna dyscyplina całego społeczeństwa. Dużo też będzie zależeć od decyzji rządu.

Naukowcy przyznają, że modele matematyczne, szczególnie te długoterminowe, nie zawsze odpowiadają aktualnej rzeczywistości - jeśli sytuacja szybko się zmienia, modele nie uczą się jej bieżąco. Jednak ich zdaniem są wciąż dobrym narzędziem do analizy epidemii.

22 października minister zdrowia Adam Niedzielski w wywiadzie dla Rzeczpospolita.pl został zapytany, jak dalece modelowanie epidemii jest wiarygodne. Dziennikarz zauważył, że kilka miesięcy temu wzrost na poziomie ponad 10 tys. nowych przypadków zakażeń koronawirusem dziennie nie był przewidywany. "Ja potwierdzam absolutnie tę diagnozę. My tutaj monitorujemy wyniki przynajmniej czterech modeli matematycznych, które prognozują na bazie różnego podejścia liczbę zachorowań" - odpowiedział minister zdrowia. "Niestety te modele długookresowe, żaden z nich, żaden - podkreślam, nie przewiduje w dobry sposób ani przyspieszenia, czyli zmiany tego charakteru pandemii, który nastąpił na początku października, ani też te modele nie przewidują dobrze punktów przesilenia, które dotyczą zmiany trendu na lepszy, łagodniejszy. Niestety tutaj możemy się z dużą wiarygodnością posługiwać modelem krótkookresowym, natomiast jest bardzo trudno znaleźć modele, które by w dobry sposób prognozowały czy wyznaczały te punkty w czasie, które pojawiają się jako odwrócenie trendu, bądź zmiana trendu. To jest naprawdę zależne, jak się okazuje, od zbyt wielu czynników i modele tego nie potrafią tego w dobry sposób ujmować" - tłumaczył minister. Przyznał, że prognozy wychodzące poza perspektywę miesiąca, mówiące, co się ma dziać w grudniu lub w styczniu traktuje "jako wróżenie z fusów".

Przypomnijmy, że 29 sierpnia przedstawialiśmy w Konkret24, iż modele matematyczne pokazywały wtedy pesymistyczne prognozy: np. model zespołu naukowców z Wydziału Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIMUW) oraz Narodowego Instytutu Zdrowia Publicznego - Państwowego Zakład Higieny (NIZP-PZH) pokazywał, że w pierwszych dniach września przekroczymy 1 tys. wykrytych zakażeń koronawirusem dziennie, a 1 października już prawie 1,6 tys. Tymczasem 29 sierpnia odnotowano 759 nowych zakażeń.

Rzeczywistość pokazała, że te pesymistyczne prognozy okazały się zbyt optymistyczne. 9 października było już 4,7 tys. nowych zachorowań. Gdy tego dnia opisaliśmy w Konkret24 kolejne prognozy modeli - tym razem powiało optymizmem. Model MIMUW i NIZP-PZH (covid19.mimuw.edu.pl) prognozował 6 października, że w kolejnych dniach będzie wykrywanych między 1,7 a 1,9 tys. przypadków zakażenia dziennie, zaś 12 listopada ponad 2,4 tys.

Dziś już wiemy, że te prognozy modeli się nie sprawdziły. 21 października przekroczyliśmy 10 tys. zakażeń dziennie, 28 października było ich już niemal 19 tys. Czy to znaczy, że modele matematyczne w takiej pandemii są nieprzydatne? Naukowcy zajmujący się ich tworzeniem tłumaczą, że modele mają swoje cykle i ograniczenia. Oraz że ważna jest społeczna złożoność kwestii pandemii i problemy z dostępnością danych.

Przedstawiamy obecne prognozy rozwoju pandemii w Polsce pokazywane przez trzy polskie modele matematyczne - wraz z wyjaśnieniami współtwórców, skąd takie prognozy i jak należy je traktować.

Według prognozy modelu MIM UW i NIZP-PZH opublikowanej 22 października jeśli obecna sytuacja nie ulegnie zmianie, w drugiej połowie listopada będziemy diagnozować ponad 46 tys. nowych zakażeń dziennie.

Jak działa ten model, wyjaśnia w rozmowie z Konkret24 pracująca nad nim prof. Anna Gambin z MIM UW: - Model matematyczny ma swój cykl życia. Parametry modelu są wyliczane w oparciu o dane. Jeżeli model rozważa dane z długiego okresu poprzedzającego dany moment i w tym okresie wzrost zachorowań był dużo mniejszy, również przewidzi podobny, niewielki wzrost - mówi.

- Jeżeli model weźmie do estymacji parametrów dane z ostatniego tygodnia, gdy mieliśmy bardzo gwałtowny wzrost liczby nowych zakażeń, jego przewidywania na kolejne dni (oczywiście przy założeniu braku jakichkolwiek ingerencji w system) pokażą taki sam ogromny wzrost - tłumaczy prof. Gambin.

Jej zespół do niedawna pokazywał w swoich analizach wykres dziennych zachorowań w podziale na różne etapy dynamiki epidemii, które zmieniały się w wyniku kolejnych etapów restrykcji, które obowiązywały w Polsce wiosną. Jak zauważa prof. Gambin, przez miesiące wakacyjne liczba nowych przypadków przyrastała liniowo, czyli współczynnik reprodukcji wirusa był bliski 1. Dlatego - jak pisaliśmy w Konkret24, krótkoterminowe prognozy modelu MIM UW dobrze sprawdzały się we wrześniu.

- Pod koniec sierpnia rozpoczął się kolejny etap wzrostu nowych zakażeń. Model musi się nauczyć nowej rzeczywistości po wakacjach i obliczyć swoje parametry w oparciu o dane z ostatnich tygodni - mówi prof. Gambin. - Ponieważ obserwowaliśmy w ostatnim tygodniu gwałtowny wzrost, to model także przewiduje gwałtowny wzrost w kolejnych tygodniach. Mamy nadzieję, że ten negatywny scenariusz się nie zrealizuje i najnowsze obostrzenia spowodują, że po dwóch tygodniach krzywa zachorowań zacznie się wypłaszczać - stwierdza badaczka.

Prognoza długoterminowa modelu MIM UW i NIZP PZH pokazuje, że na początku marca 2021 roku krzywe zakażeń się wypłaszczają. - To znaczy, że w tym scenariuszu osiągamy odporność stadną w sytuacji, gdy ponad dwie trzecie społeczeństwa przejdzie infekcję: 10 milionów osób zostanie zdiagnozowanych i dodatkowe prawie 17 milionów, które nie zostaną zdiagnozowane - mówi prof. Gambin.

- Do prognoz długoterminowych należy podchodzić ostrożnie, ponieważ większość z modeli, które dają taką daleką prognozę, nie uwzględnia ingerencji w system lub uwzględnia je w sposób ograniczony - zaznacza prof. Gamin. Na przykład nie wiemy, jak zachowa się społeczeństwo. - Może się okazać, że wszyscy zachowają się wyjątkowo odpowiedzialnie: postanowią wyizolować się, wszędzie używać maseczek i często myć ręce. Wtedy po kilku tygodniach okaże się, że nie mamy już tak strasznego problemu z epidemią i nie grozi nam katastrofa w służbie zdrowia - stwierdza badaczka.

Specjaliści z Interdyscyplinarnego Centrum Modelowania Matematycznego i Komputerowego Uniwersytetu Warszawskiego (ICM UW) opracowali własny model pandemii, który można śledzić na stronie covid-19.icm.edu.pl. Jak działa ten model opowiada Konkret24 jeden z członków zespołu dr Jakub Zieliński, adiunkt Centrum Nauki o Danych i Modelowania.

- Nasz model to model agentowy. Możemy go sobie wyobrazić jako dużą mapę Polski z rozmieszczonymi na niej ponad 38 milionami kropek. Każda reprezentuje jedną osobę - wyjaśnia dr Zieliński. - Najważniejszym wyzwaniem w tym modelu było to, gdzie znajdują się kropki i jak się poruszają. Nie wiemy nic o konkretnej osobie, ale znamy dane demograficzne, mamy informacje o transporcie publicznym, co pozwala nam określić mniej więcej skąd i gdzie ludzie się przemieszczają, gdzie się spotykają. Mamy też zagregowane i zanonimizowane dane z sieci komórkowych, na których podstawie możemy stwierdzić, czy zwiększył lub zmniejszył się ruch na ulicach. Przemieszczanie się ludzi i ich kontakty, podczas których może dojść do zakażeń, nasz model analizuje tak, by oszacować dalszy rozwój epidemii w populacji - opowiada.

Model ICM przewiduje liczbę stwierdzonych zakażeń (tj. tych, które zostaną wykryte przez testowanie). Zespół szacuje, że rzeczywistych zakażeń - czyli łącznie zdiagnozowanych i niezdiagnozowanych - jest około dziewięć razy więcej niż stwierdzonych.

Jak zaznacza dr Zieliński, w krótkim horyzoncie czasu dla modelu sytuacja rozwija się w jedną stronę: maleje liczba podatnych, a rośnie liczba osób odpornych na koronawirusa. - Zakładamy, że – i to założenie nie musi być prawdziwe, ale jest bardzo mocne – osoba, która przechorowała COVID-19, uzyskuje odporność. Nie wiemy, na jak długo, ale wydaje się, że na następnych kilka miesięcy. Dlatego model zakłada, że w pewnym momencie te wzrosty zakażeń ustąpią i zaczną się spadki, ponieważ będzie rosła liczba osób odpornych, a spadała liczba osób podatnych na zakażenie - wyjaśnia dr Zieliński.

- Wygląda na to, że gdzieś do końca roku będziemy mieli piekło. To się za chwilę zacznie, najgorsze jeszcze się nie zaczęło - uważa dr Zieliński. - Model pokazuje, że na przełomie listopada i grudnia osiągniemy maksimum zachorowań, później ich liczba zacznie spadać. W zasadzie przejście przez maksimum i spadek oznacza, że osiągnęliśmy coś, co się nazywa odpornością populacyjną. Ale to nie jest pewna predykcja. Maksimum jest bardzo trudnym parametrem do określenia ze względu na swoją wrażliwość nawet na drobne zmiany, niedoszacowania. Wiele może tu zależeć od interwencji rządu. Nie wiemy, jakie będą te decyzje za dwa tygodnie. One są podejmowane na bieżąco. Trzeba pewne rzeczy założyć. Nie wiemy, jaki procent osób będzie przestrzegał nowych obostrzeń. Zakładamy, że nie wszyscy, ale większość tak - analizuje.

Doktor Zieliński podkreśla, że nie wszyscy się zakażą. Będzie to mniej więcej około połowy populacji, jeśli nie dojdzie do jakichś dodatkowych działań.

Obecne scenariusze zespołu ICM UW nie obejmują jeszcze sytuacji nowych obostrzeń, które polski rząd wprowadził w zeszłym tygodniu. Zdaniem dr Zielińskiego jeśli obostrzenia zaczną działać i ludzie będą ich przestrzegać, maksimum będzie niższe i osiągniemy je później.

Jednak od tygodnia, mimo obostrzeń, na ulicach Polski gromadzą się tłumy - czego model rzecz jasna też nie mógł uwzględnić. Przewidywania uwzględniające te protesty mogłyby być odmienne od obecnych prognoz.

Kolejny model agentowy tworzy międzynarodowy i interdyscyplinarny zespół naukowców MOCOS (Modelling Coronavirus Spread) kierowany przez prof. Tylla Kruegera z Katedry Automatyki, Mechatroniki i Systemów Sterowania Politechniki Wrocławskiej. Profesor Krueger zawodowo zajmuje się modelowaniem matematycznym w medycynie i biologii.

"Liczba nowych zdiagnozowanych na COVID-19 wzrasta wykładniczo. Według naszych analiz za miesiąc będziemy obserwować ponad 34 tysiące zdiagnozowanych przypadków dziennie z prawdopodobieństwem 50 proc." - informował zespół w raporcie opublikowanym 10 października. Model przewidywał wtedy, że pod koniec października będziemy wykrywać między 10 a 15 tys. nowych przypadków dziennie.

- Używając metafory do opisu obecnej sytuacji, można powiedzieć, że nasz dom już się pali lub że jedziemy z dużą szybkością wprost na ścianę. Zbliżamy się do granicy naszych zasobów w szpitalach. I to jest bardzo niedobra sytuacja - mówi prof. Krueger

Zwraca uwagę na istotną rzecz w prognozowaniu matematycznym: - Zajmuję się modelowaniem epidemii i potrzebne mi są odpowiednie dane, aby przygotować model. Polskie służby sanitarne nie zorganizowały dobrego systemu zbierania danych epidemiologicznych. Zbieranie danych nie odbywa się w formie elektronicznej i zbyt długo trwa, w rezultacie nie można szybko i na bieżąco analizować stanu rozwoju epidemii. Na dodatek rożne informacje są zbierane w różnych instytucjach i nie są ze sobą kompatybilne. Kluczowe dane potrzebne w modelach agentowych dotyczą śledzenia kontaktów. Jednak informacje o tym, ile dni minęło od zakażenia do izolacji, są dostępne z tak dużym opóźnieniem, że trudno jest analizować obecną sytuację i rekomendować działania, które mogłyby ją polepszyć. W rezultacie model staje się mniej użyteczny - przyznaje badacz. Jak podkreśla, rzetelne zbieranie danych i szybkość przepływu informacji w obecnej sytuacji są kluczowe, by wiedzieć, w jakim stadium jest epidemia w Polsce.

Model zespołu MOCOS bazował na efektach śledzenia kontaktów i skuteczności aplikacji komórkowej. Analizował także koncepcję wprowadzenia tzw. baniek społecznych jako reguły dla ograniczenia kontaktów społecznych. Obecnie rekomendowane są spotkania do pięciu osób, ale jednego dnia możemy się spotykać w wielu takich pięcioosobowych grupach, co oznacza, że w rzeczywistości możemy mieć kontakty z 10 czy 15 osobami.

- Rekomendujemy stworzenie bańki społecznej, gdzie na stałe spotykamy się z jedną grupą ludzi, na przykład z jednym lub dwoma gospodarstwami domowymi - mówi prof. Krueger. - Taka forma ograniczenia kontaktów mogłaby polepszyć sytuację, bo funkcjonując w niewielkich klastrach społecznych, które nie są połączone, możemy zmniejszyć R do wartości bliskiej 1, gdy epidemia już nie rośnie. To jest obecnie nasz cel. Analizujemy takie sytuacje w modelu - stwierdza.

Modelowanie matematyczne służy temu, by rozumieć, jak współczynnik R zależy od różnych społecznych i organizacyjnych czynników. - Tutaj modele agentowe mają swoją moc. Modele różniczkowe, takie jak prowadzi profesor Anna Gambin, bardzo dobrze sprawdzają się do opisania sytuacji. Ale jeśli chodzi o rozumienie procesów, których nie da się łatwo opisać, jak efekt wspomnianych baniek i śledzenia kontaktów, zachowań populacji – a to ma wpływ na cały przebieg epidemii i na wartość współczynnika R – sprawdza się modelowanie agentowe - stwierdza prof. Krueger.

Pytany o ograniczenia albo trudności dla modelu agentowego, wymienia wielość nieznanych parametrów. - Podam przykład: niektórzy z nas chcą się spotkać co najmniej z trójką przyjaciół dziennie, a inni chętnie zostają w domu i wystarczą im kontakty ze znajomymi raz w tygodniu. Gdyby obie takie osoby zakaziły się, to dla każdej powinniśmy teoretycznie szacować współczynnik R. To ważne, by rozumieć w modelowaniu takie różnice. Lecz dostępne dane są bardzo niedokładne i dlatego musimy zakładać pewne hipotezy, jak wygląda rzeczywistość. Nie jesteśmy pewni, jak naprawdę wygląda sytuacja - wyjaśnia prof. ‪Tyll Krueger.

Bieżące predykcje jego zespołu dostępne są na stronie German and Polish COVID-19 ForecastHub.

MOCOS przygotował też kalkulator indywidualnego ryzyka. Na podstawie danych o wieku, płci i informacji o ewentualnych chorobach współistniejących szacuje szanse hospitalizacji lub zgonu osoby, jeśli u tej zdiagnozowano by SARS-CoV-2.

Skoro modele matematyczne mają swoje ograniczenia, nie mogą nadążyć za zmieniającą się sytuacją (jak np. nagły wzrost zachorowań czy nieprzewidziane protesty po wyroku Trybunału Konstytucyjnego) i brakuje rzetelnych danych o stanie epidemii w Polsce - czy takie modele są przydatne?

Według prof. Tylla Kruegera trwające protesty nie wpłyną w znaczący sposób na wzrost liczby zakażeń. - Wygląda na to, że większość uczestników nosi maski, protesty odbywają się na zewnątrz, często przy dość wietrznej pogodzie – mówi. Dlatego, według badacza, podczas takich wydarzeń nie powinno dochodzić do masowych zakażeń. - Naszym problemem w walce z pandemią nie są demonstracje - uważa prof. Krueger.

Profesor tłumaczy, że każdy model jest tylko pewną idealizacją rzeczywistości. - Nie stworzymy w modelu kopii prawdziwej rzeczywistości. Należy znaleźć właściwy balans, żeby stworzyć model, dzięki któremu dobrze rozumiemy, jakie są główne czynniki rozwoju epidemii i który pozwala poprawnie je analizować. Należy rozumieć pewne mechanizmy, by mieć dobre wyczucie, w jakich aspektach model powinien być dokładny, a gdzie można pozwolić sobie na zignorowanie pewnych rzeczy.

Z kolei prof. Anna Gambin uważa, że modele matematyczne świetnie modelują epidemie, zwłaszcza gdy patrzy się na epidemię jako na zamkniętą całość i analizuje się dostępne dane z perspektywy historycznej. - Istnieje kilka takich przykładów, gdzie modele idealnie odtwarzają dynamikę epidemii. Natomiast nasza sytuacja jest inna - zaznacza. - My jednocześnie żyjemy i z modelem, i z epidemią. Co więcej, ingerujemy w sytuację znacznie, wprowadzając kolejne restrykcje. W tej sytuacji zaufanie do długoterminowych prognoz musi być ograniczone.

I dodaje: - Zachowanie pojedynczej osoby nie spowoduje wielkiej różnicy w globalnym trendzie dynamiki epidemii. Natomiast jeśli wszyscy zmienią swoje zachowanie, sytuacja może się zmienić diametralnie. W najbardziej optymistycznym przypadku może się okazać, że za dwa tygodnie nie mamy już żadnych nowych zachorowań. Ale to wymagałoby jednak ogromnej dyscypliny całego społeczeństwa. Taki efekt udało się osiągnąć w Chinach z pomocą radykalnej izolacji i wojska, ale też dzięki zupełnie innej mentalności społeczeństwa, dla którego wolność jednostki nie jest taką wartością jak w cywilizacji zachodniej - kończy.

Autor: Gabriela Sieczkowska / Źródło: Konkret24; zdjęcie: Shutterstock