"Nieprawidłowości statystyczne" w wynikach komisji. Co pokazują modele, a czego nie

Po drugiej turze wyborów prezydenckich w mediach zarówno tradycyjnych, jak i społecznościowych pojawiają się doniesienia o nieprawidłowościach dotyczących liczenia głosów w niektórych komisjach wyborczych. W większości miały one polegać na zamianie liczby głosów oddanych na obu kandydatów w protokołach przekazywanych przez obwodowe komisje do Państwowej Komisji Wyborczej. Wiadomo, że po wyborach do Sądu Najwyższego wpłynęło ponad 54 tysięcy protestów wyborczych, ale do tej pory zarejestrowano ich około 10,5 tysiąca. Sąd Najwyższy nakazał przeliczenie głosów w co najmniej 14 obwodowych komisjach wyborczych.

Głos w tej sprawie 23 czerwca 2025 roku zabrał minister sprawiedliwości i prokurator generalny Adam Bodnar. We wpisie w serwisie X zapewnił, że "wykorzysta wszystkie możliwości, by każdy z protestów został rozpatrzony zgodnie z prawem". Przekazał: "W efekcie protestów w części Komisji Wyborczych doszło, decyzją Sądu Najwyższego, do ponownego przeliczenia głosów. Należy przewidzieć kolejne takie przypadki".

Rzeczywiście 12 czerwca 2025 roku Sąd Najwyższy podał, że nakazał ponowne przeliczenie głosów - tym razem przez odpowiednie sądy rejonowe - w 13 komisjach wyborczych, co do których otrzymał protesty. Były to komisje: nr 95 w Krakowie, nr 3 w Oleśnie, nr 13 w Mińsku Mazowieckim, nr 9 w Strzelcach Opolskich, nr 25 w Grudziądzu, nr 17 w Gdańsku, nr 30 i 61 w Bielsku-Białej, nr 10 w Tarnowie, nr 53 w Katowicach, nr 35 w Tychach, nr 6 w Kamiennej Górze oraz nr 4 w Brześciu Kujawskim.

Ta lista nie jest jednak ostateczna. Wraz z rozpatrywaniem kolejnych protestów przez Sąd Najwyższy sędziowie zlecają kolejne przeliczenia głosów. Tak stało się m.in. w sprawie komisji nr 20 w Zabrzu, gdzie ponowne przeliczenie głosów przez sąd nakazano już po 12 czerwca, czyli po cytowanym wcześniej komunikacie. Nie wiadomo jednak, ile dokładnie takich decyzji zapadło, ponieważ po 12 czerwca ta liczba nie została podana do publicznej wiadomości. Zapytaliśmy o nią Sąd Najwyższy, ale w odpowiedzi usłyszeliśmy, że ze względu na skalę protestów wyborczych nie można stwierdzić, w ilu sprawach zarządzono powtórne liczenie głosów.

Adam Bodnar w swoim wpisie zapowiedział jednak wniosek o znaczne poszerzenie tej listy: "W Prokuraturze Krajowej trwają przygotowania do zażądania przeliczenia głosów we wszystkich Obwodowych Komisjach Wyborczych, w których wyniki wykazały niepokojące nieprawidłowości statystyczne. Choćby tych Komisji było kilkaset!".

Swoją zapowiedź powtórzył 24 czerwca w rozmowie z dziennikarzami. "Jesteśmy na tym etapie, że przygotowujemy się bardzo profesjonalnie do zażądania przeliczenia głosów w tych komisjach, co do których zostały wykazane anomalie statystyczne" - stwierdził.

Czym są "nieprawidłowości statystyczne" lub "anomalie statystyczne"? Najprawdopodobniej Adam Bodnar miał na myśli wahnięcia na korzyść jednego lub drugiego kandydata w drugiej turze w porównaniu do tego, ile głosów otrzymał on w danej komisji dwa tygodnie wcześniej lub ile powinien dostać w drugiej turze według przyjętych modeli statystycznych.

Pierwszy taki model pojawił się w mediach społecznościowych już cztery dni po wyborach - 5 czerwca 2025 roku - a jego anonimowy autor próbował ustalić, jak duże były rozbieżności w danej komisji między oczekiwanym a oficjalnym wynikiem danego kandydata na podstawie przepływu wyborców innych kandydatów z pierwszej tury. Eksperci w rozmowie z TVN24+ zalecali jednak ostrożność w korzystaniu z tej analizy, ponieważ - jak tłumaczyli - porównywanie suchych wyników z obu tur to "błąd metodologiczny", a ponadto nie wiadomo, w jaki sposób autor oszacował przepływy wyborców między obiema turami.

Od tego czasu w przestrzeni publicznej pojawiły się już natomiast kolejne modele statystyczne, których autorzy chcieli ocenić skalę wahnięć na korzyść kandydatów w konkretnych komisjach wyborczych. Jeden z nich na prośbę TVN24+ stworzył doktor Michał Kotnarowski, socjolog i politolog z Instytutu Filozofii i Socjologii Polskiej Akademii Nauk. Inny model opublikował natomiast w sieci doktor inżynier Krzysztof Kontek, niegdyś pracownik Szkoły Głównej Handlowej. Pokazujemy, jakie ograniczenia mają oba modele i czy na ich podstawie można mówić o jakichś "nieprawidłowościach statystycznych" w wynikach.

Model stworzony dla nas przez dra Michała Kotnarowskiego całościowo opisaliśmy w artykule z 10 czerwca 2025 roku. Powstał on 6 czerwca, dlatego wśród analizowanych komisji nie było czterech, które do tamtej chwili przyznały się już do pomyłek. To komisje nr 95 w Krakowie, nr 13 w Mińsku Mazowieckim, nr 9 w Strzelcach Opolskich i nr 3 w Oleśnie.

Doktor Kotnarowski w swoim modelu próbował oszacować, jaki wynik powinni uzyskać w drugiej turze obaj kandydaci, gdyby wyborcy z pierwszej tury w danej komisji zagłosowali modelowo, czyli według przepływów elektoratu podanych w sondażu Ipsosu. Na przykład gdyby 84 procent wyborców Adriana Zandberga zagłosowało na Trzaskowskiego, a 16 procent na Nawrockiego lub 84 procent wyborców Sławomira Mentzena zagłosowałoby na Nawrockiego, a 16 procent na Trzaskowskiego (tak właśnie dla całej Polski podawał sondaż exit poll). Ponadto ekspert uwzględnił głosy wyborców nieobecnych w pierwszej turze, również według rozkładu podanego w sondażu Ipsosu, czyli 51 do 49 procent na korzyść Trzaskowskiego. Taki modelowy wynik dr Kotnarowski porównał z oficjalnym wynikiem obu kandydatów w danych komisjach.

Wnioski były następujące: są komisje, w których wynik Rafała Trzaskowskiego był lepszy, niż się spodziewano i są też takie miejsca, gdzie wynik Karola Nawrockiego był lepszy, niż się spodziewano. Ekspert zidentyfikował jednak więcej komisji, gdzie różnica między przewidywaniami a wynikiem jest na korzyść Rafała Trzaskowskiego. Było ich 16,7 tys. przy 14,9 tys. komisji, gdzie wahnięcie względem modelu było korzystne dla Karola Nawrockiego.

Kluczowy wniosek dra Michała Kotnarowskiego był jednak inny. "Wahnięcia na korzyść kandydatów nie są ani na tyle duże, ani na tyle jednostronne na korzyść któregoś z nich, żeby móc mówić o zaburzeniu wyniku wyborów z tego powodu" - podkreślał ekspert. Ponadto jego zdaniem takie wahnięcia były wytłumaczalne, ponieważ wynikały m.in. ze wzrostu frekwencji w dużych miastach i zmian zachowań wyborczych, które wymykają się modelowi.

Ten mianowicie ma swoje słabości, wynikające głównie z tego, że częściowo opiera się na danych sondażowych, w dodatku podanych łącznie dla całej Polski, bez analizowania różnic regionalnych. Te ograniczenia modelu wymieniał w rozmowie z Konkret24 sam autor. Są to przede wszystkim:

- założenie, że wszyscy, którzy głosowali w pierwszej turze, poszli zagłosować w drugiej (choć z pewnością część zdemobilizowanych wyborców została w domu, czego nie bada Ipsos); - założenie, że wyborcy tych kandydatów, którzy odpadli w pierwszej turze, zagłosowali tak, jak pokazał Ipsos w sondażu, dokładnie w takich proporcjach (choć mogli zachować się niestandardowo); - założenie, że wszyscy, którzy głosowali na Rafała Trzaskowskiego czy Karola Nawrockiego w pierwszej turze, zagłosowali na nich również w drugiej (choć i tutaj mogło dojść do drobnych zmian); - założenie, że tam, gdzie był wzrost frekwencji, głosy nowych wyborców rozłożyły się według modelu Ipsosu 51 do 49 (choć dla nowych wyborców w większych miastach ta proporcja była bardziej na korzyść Trzaskowskiego, podczas gdy w mniejszych miastach przeciwnie).

Na naszą prośbę dr Kotnarowski wyselekcjonował też 40 komisji: 20, w których ta różnica między modelem a rzeczywistością była najbardziej na korzyść Trzaskowskiego oraz 20, gdzie była najbardziej na korzyść Nawrockiego (nie biorąc pod uwagę czterech, które już wcześniej przyznały się do pomyłki).

Wiadomo, że co najmniej w ośmiu z tych 20 komisji, gdzie wahnięcie względem modelu było na korzyść Karola Nawrockiego, Sąd Najwyższy nakazał ponowne przeliczenie głosów na skutek wniesionych protestów. To komisje nr 25 w Grudziądzu, nr 17 w Gdańsku, nr 30 i 61 w Bielsku-Białej, nr 35 w Tychach, nr 6 w Kamiennej Górze oraz nr 4 w Brześciu Kujawskim. Dotyczy to jednak tylko tych komisji, które SN wymienił w komunikacie z 12 czerwca.

Po ponownym przeliczeniu Prokuratura Krajowa 21 czerwca wydała komunikat, w którym przekazała, że w trzech z wymienionych komisji doszło do zamiany głosów (Grudziądz, Gdańsk, Brześć Kujawski), w jednej kandydatom omyłkowo dopisano głosy nieważne (Tarnów), a w Kamiennej Górze, w innym pakiecie zawierającym głosy oddane na kandydata Karola Nawrockiego, znajdowały się ważne głosy oddane na Rafała Trzaskowskiego.

W sprawie nieprawidłowości w komisji w Kamiennej Górze śledztwo wszczęła już Prokuratora Okręgowa w Jeleniej Górze. Dwa inne śledztwa w sprawie nieprawidłowości prowadzi też Prokuratura Okręgowa w Opolu, ale dotyczą dwóch komisji: w Oleśnie i Strzelcach Opolskich, których dr Michał Kotnarowski nie analizował w swoim modelu, ponieważ wcześniej przyznały się one do pomyłki przy podawaniu wyniku wyborów.

16 czerwca dr inż. Krzysztof Kontek opublikował w internecie pracę pt. "Weryfikacja wyniku drugiej tury wyborów prezydenckich w Polsce w 2025 roku. Przeliczenie głosów z użyciem przestrzennie grupowanej metody MAD" analizującą "występowanie i potencjalny wpływ statystycznych anomalii na wynik drugiej tury".

Doktor Kontek jest z wykształcenia inżynierem elektronikiem. W przeszłości był związany ze Szkołą Główną Handlową w Warszawie. Pracując w Katedrze Matematyki i Ekonomii Matematycznej był kierownikiem projektów naukowych: "Specyficzne gusta czy kliki jurorów? Zaprojektowanie systemów ocen i głosowań odpornych na manipulację"; "Pełna implementacja psychofizycznej teorii Range-Frequency Parducci’ego w modelowaniu podejmowania decyzji w warunkach ryzyka"; "Testowanie Kumulatywnej Teorii Perspektyw i innych modeli podejmowania decyzji w warunkach". Ma w sumie na swoim koncie 35 publikacji naukowych i 224 cytowania. Jego najnowszą analizę opisała jako pierwsza 20 czerwca "Gazeta Wyborcza".

Na początku swojej pracy jej autor szczegółowo opisał przyjętą metodologię. Oparł się oficjalnych danych Państwowej Komisji Wyborczej. Najpierw 31 631 komisji wyborczych znajdujących się w bezpośrednim sąsiedztwie podzielił na bloki tak, by każda grupa zawierała od 10 do 16 sąsiadujących komisji. "Celem było maksymalne zwiększenie spójności przestrzennej przy zachowaniu poręcznej wielkości grupy, bez konieczności ograniczania jej do jednego kodu pocztowego" - opisuje dr Kontek. Tak powstało 2 208 grup.

Następnie naukowiec przebadał występowanie następujących czterech anomalii między pierwszą a drugą turą:  - nadmierne poparcie dla Karola Nawrockiego (względem mediany w ramach lokalnej grupy); - nadmierny względny wzrost poparcia dla Karola Nawrockiego między pierwszą a drugą turą, w porównaniu do odpowiedniego wzrostu poparcia dla Rafała Trzaskowskiego w tej samej grupie lokalnej; - komisje, w których Nawrocki uzyskał więcej głosów niż Trzaskowski w drugiej turze, mimo że mediana wyników w grupie wskazywała na przewagę Trzaskowskiego; - komisje, w których Trzaskowski otrzymał mniej głosów w drugiej turze niż w pierwszej - wzorzec trudny do wyjaśnienia w ramach standardowej dynamiki wyborczej.

Przy pomocy napisanego przez siebie programu zidentyfikował 3 679 komisji wyborczych, w których wystąpiły anomalie, czyli w których wyniki znacząco odbiegały od wyników sąsiednich komisji z tej samej lokalizacji geograficznej. Przy czym: - 1482 komisje wykazywały co najmniej dwa typy anomalii; - 216 komisji wskazywało co najmniej trzy typy; - 33 komisje - wszystkie cztery typy anomalii. 

Wśród komisji, które w ten sposób wyselekcjonował, 10 (z 13) zostało objętych decyzją ponownego przeliczenia głosów wydaną przez Sąd Najwyższy 12 czerwca. To obwodowa komisje wyborcze: nr 95 w Krakowie; nr 3 w Oleśnie; nr 13 w Mińsku Mazowieckim; nr 9 w Strzelcach Opolskich; nr 25 w Grudziądzu; nr 17 w Gdańsku; nr 30 w Bielsku-Białej; nr 61 w Bielsku-Białej; nr 35 w Tychach; nr 6 w Kamiennej Górze.

"Fakt, że metoda statystyczna niezależnie wskazała większość komisji wybranych do ponownego przeliczenia, potwierdza jej praktyczną skuteczność oraz wartość dowodową w ocenie integralności procesu zliczania głosów" - ocenia w swojej pracy dr Kontek.   Następnie przeliczył, jakie w tych komisjach statystycznie powinny być wyniki wyborów. Oszacował, że przy różnicy między kandydatami, która wyniosła 369 591 tysięcy głosów, od 315 do nawet 457 tysięcy głosów powinien zyskać Rafał Trzaskowski.

"Warto podkreślić, że przedstawione liczby to szacunki oparte na statystycznie uzasadnionym modelu korekty, a nie rzeczywiste przeliczenia głosów. Niemniej jednak, ich skala i spójność sugerują, że niezidentyfikowane lub niekorygowane anomalie mogły mieć decydujący wpływ na wynik wyborów" - podsumowuje (pisownia oryginalna). Jednocześnie uważa, że "faktyczna skala nieprawidłowości wyborczych może być znacznie większa niż sugerują przedstawione w tym opracowaniu przeliczone wyniki. Wykrycie takich niskopoziomowych nieprawidłowości wymagałoby jednak ręcznego przeliczenia głosów, gdyż nawet najbardziej odporne metody statystyczne mogą nie wychwycić subtelnych odchyleń, które mają jednak istotne konsekwencje proceduralne". I postuluje, by za każdym razem przy rozpatrywaniu protestów wyborczych uwzględniać skumulowane dowody statystyczne. 

W rozmowie z Konkret24 dr Kontek podkreśla, że jego model zadziałał, co wykazało powtórne liczenie głosów w 13 komisjach. - Nie doszacowałem nawet liczby skorygowanych głosów o około 18 procent. Nie ma lepszej weryfikacji modelu niż sprawdzenie na rzeczywistych danych. Na razie jest to co prawda tylko ograniczona próbka, ale widać, że model działa pierwszorzędnie – ocenia.

Naukowiec jednak sprawdzał tylko te komisje, gdzie były anomalie na korzyść Nawrockiego. - Ja tego nie ukrywam i to jest postawione jako cel badawczy - broni się naukowiec, przyznając, że to główny stawiany mu zarzut i mówiąc jednocześnie o tym, jak z wielką falą hejtu się teraz mierzy. - Jako naukowiec mam prawo postawić sobie każdą hipotezę i mogę ją udowadniać – oznajmia, ale też zaraz przyznaje, że "gdyby to poszło do jakiegoś poważnego czasopisma [naukowego], to tak na 99 procent by mi to wytknęli i powiedzieli, że to trzeba też zbadać w drugą stronę". 

Jednak jego zdaniem do tej pory nikt nie wykazał dużej liczby komisji, gdzie wahnięcia były na korzyść Trzaskowskiego. - Wszyscy ci, co mi zarzucają, że były anomalie w drugą stronę, na razie nie wykazali więcej niż 19 czy 22 takich przypadków. Pokażcie więcej. Pokażcie swoje obliczenia - zachęca i podkreśla: - Ja mówię o tysiącach komisji.

Na pytanie, dlaczego postawił bardzo poważny wniosek o możliwej zmianie wyników wyborów na korzyść Rafała Trzaskowskiego, skoro nie zbadał komisji, w których były wahnięcia na korzyść właśnie prezydenta Warszawy, odpowiada, że i tak nie uwzględnił w artykule innych czynników, które mogły wpłynąć na dalsze zwiększenie tej różnicy. Ponadto, jeśli były nieprawidłowości na szerszą skalę i w drugą stronę, to świadczyłoby, że "liczba komisji podających błędne dane uległaby jeszcze zwiększeniu, co tylko wzmacnia tezę, że wybory powinny być powtórzone" - ocenia.

Nie wskazuje żadnych zastrzeżeń czy ograniczeń do swojej opublikowanej pracy. - Operowałem na wszystkich komisjach. Zostały postawione pewne tezy badawcze, co ja badam konkretnie. To zostało zweryfikowane matematycznie. Została wyznaczona lista komisji, w których wystąpiła od jednej do czterech typów anomalii. Później nastąpiła korekcja głosu w tych komisjach z anomaliami - opowiada badacz. Mówi o swojej karierze naukowej i o pracy, która "jakieś tam swoje ograniczenia" ma. - Ale nie muszę o wszystkim pisać albo nie mam czasu, żeby wszystko opisać, albo po prostu czegoś na początku nie zauważam. Od tego są recenzenci w poważnych czasopismach i to recenzenci mówią w swoich raportach, co poprawić. Zawsze są uwagi. Zawsze - wyjaśnia.

Zapowiada, że prace o anomaliach w komisjach wyśle do naukowego czasopisma. - Prawdopodobnie ją rozbuduję i uwzględnię jeszcze inne czynniki. I wtedy będę na tym pracował - mówi na koniec.